Question

3．已知f（x）為二次函數(shù)，若f（0）=1且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析 由條件便可設(shè)f（x）=ax²+bx+1，從而可得到f（x+1）=ax²+（2a+b）x+（a+b+1），從而可得到ax²+（2a+b）x+（a+b+1）=ax²+（b+1）x+2，根據(jù)多項式相等時，對應(yīng)的系數(shù)相等可建立關(guān)于a，b的方程組，解出a，b，便可得出f（x）的表達式．

解答 解：根據(jù)條件設(shè)f（x）=ax²+bx+1；
∴由f（x+1）=f（x）+x+1得：a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+x+1；
∴ax²+（2a+b）x+（a+b+1）=ax²+（b+1）x+2；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b+1=2}\end{array}\right.$；
解得$a=\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+1$．

點評 考查二次函數(shù)的一般形式，已知f（x）求值及求f（g（x）），掌握多項式相等恒成立時，對應(yīng)項系數(shù)相等．