Question

14．設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足ln（x²+2x-8）＜ln（3x-2）．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由x²-4ax+3a²＜0得（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，則p：a＜x＜3a，a＞0．
由ln（x²+2x-8）＜ln（3x-2）．
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-8＞0}\\{{x}^{2}+2x-8＜3x-2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2或x＜-4}\\{{x}^{2}-x-6＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2或x＜-4}\\{-2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
即q：2＜x＜3．
（1）若a=1，則p：1＜x＜3，
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即$\left\{\begin{array}{l}2＜x＜3\\ 1＜x＜3\end{array}\right.$，
解得2＜x＜3，
∴實數(shù)x的取值范圍（2，3）．
（2）若p是q的必要不充分條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a≥3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．

點評 本題主要考查復(fù)合命題以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式的性質(zhì)求出命題p，q成立的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．