Question

14．已知圓O：x²+y²=1與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，P為直線3x+4y-a=0上一點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為T，若PA=2PT，則a的最大值為$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由PA=2PT，把原題轉(zhuǎn)化為直線3x+4y-a=0與圓${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$有公共點(diǎn)，由此能求出a的最大值．

解答 解：設(shè)P（x，y），由PA=2PT，得（x+1）²+y²=4（x²+y²-1），
化簡得${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$，
轉(zhuǎn)化為直線3x+4y-a=0與圓${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$有公共點(diǎn)，
所以$d=\frac{{|{1-a}|}}{5}≤\frac{4}{3}$，
解得$-\frac{17}{3}≤a≤\frac{23}{3}$．
∴a的最大值為$\frac{23}{3}$．
故答案為：$\frac{23}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．