Question

2．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1； 當(dāng)x∈（0，π）且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0．則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-3π，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由題意x∈（0，π） 當(dāng)x∈（0，π） 且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，以$\frac{π}{2}$為分界點(diǎn)進(jìn)行討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的圖形，畫(huà)出草圖進(jìn)行求解，即可得到結(jié)論

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-3π，3π]時(shí)，0＜f（x）＜1；
當(dāng)x∈（0，π） 且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)；x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
∵x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，
在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=f（x）草圖象如下，

由圖知y=f（x）-sinx在[-3π，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性與周期性，考查了函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了數(shù)形結(jié)合的能力，考查了推理能力，屬于難題