Question

11．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²lnx-a（x²-1）．
（Ⅰ）當a=-1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x₀∈[1，+∞），使不等式f（x₀）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．．

Answer 1

分析 （I）求出f′（x），求出斜率，然后求解曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）求出函數(shù)的導數(shù)，利用當$\frac{1}{2}-a≥0$，當$\frac{1}{2}-a＜0$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出，實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（I）f′（x）=2xlnx+x-2ax，…（2分）
當a=-1時，f′（1）=3，
∵f（1）=0，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=3x-3；…（6分）
（II）$f'（x）=2xlnx+x-2ax=2x（lnx+\frac{1}{2}-a）$
當x∈[1，+∞）時，lnx≥0，所以
當$\frac{1}{2}-a≥0$，即$a≤\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）是增函數(shù)，
f（x）≥f（1）=0恒成立，不存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立；…（8分）
當$\frac{1}{2}-a＜0$，即$a＞\frac{1}{2}$時，
當$x∈[1，{e^{a-\frac{1}{2}}}）$時，f′（x）＜0，f（x）在$x∈[1，{e^{a-\frac{1}{2}}}）$是減函數(shù)，
f（x）≤f（1）=0，…（10分）
此時存在${x_0}∈[1，{e^{a-\frac{1}{2}}}）$，使得不等式f（x₀）＜0成立；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的切線方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．