Question

10．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足：$|\overrightarrow a|=13，|\overrightarrow b|=1，|\overrightarrow a-5\overrightarrow b|≤12$，則$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影長度的取值范圍是（　　）

• A． $[0，\frac{1}{13}]$
• B． $[0，\frac{5}{13}]$
• C． $[\frac{1}{13}，1]$
• D． $[\frac{5}{13}，1]$

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-5\overrightarrow）^{2}}$≤12可求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的范圍，進(jìn)而可求$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$的范圍，然后由$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影|$\overrightarrow$|cosθ可求

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ
∵|$\overrightarrow{a}$|=13，|$\overrightarrow$|=1
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-5\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow+25{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{194-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$≤12
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥5
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{13}$≥$\frac{5}{13}$
∴$\frac{5}{13}≤cosθ≤1$
∵$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影|$\overrightarrow$|cosθ=cosθ$∈[\frac{5}{13}，1]$
故選D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)及投影的定義的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清楚基本概念．