Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知點P（0，$\frac{3}{2}$）到橢圓C的右焦點F的距離是$\frac{\sqrt{57}}{2}$．設經(jīng)過點P且斜率存在的直線與橢圓C相交于A、B兩點，線段AB的中垂線與x軸相交于一點Q．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求點Q的橫坐標x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，$\sqrt{{c}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{2}$，又a²+b²=c²．聯(lián)立解出即可得出．
（II）設直線AB的方程為：y=kx+$\frac{3}{2}$，（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₃，y₃），直線AB的方程與題意方程聯(lián)立化為：（1+4k²）x²+12kx-7=0，利用中點坐標公式與根與系數(shù)的關系可得可得中點M的坐標，可得線段AB的中垂線方程，令y=0，可得x₀，通過對k分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，$\sqrt{{c}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{2}$，又a²+b²=c²．
聯(lián)立解得：c²=12，a=4，b=2．
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）設直線AB的方程為：y=kx+$\frac{3}{2}$，（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₃，y₃），線段AB的中垂線方程為：y-y₃=-$\frac{1}{k}$（x-x₃）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+12kx-7=0，
△＞0，∴x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$．
y₃=kx₃+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2（1+4{k}^{2}）}$．
∴線段AB的中垂線方程為：y-$\frac{3}{2（1+4{k}^{2}）}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$）．
令y=0，可得x₀=$\frac{-9k}{2+8{k}^{2}}$=$\frac{-9}{2（\frac{1}{k}+4k）}$，
k＞0時，0＞x₀≥$-\frac{9}{8}$．
k＜0時，0＜x₀≤$\frac{9}{8}$．
k=0時，x₀=0也滿足條件．
綜上可得：點Q的橫坐標x₀的取值范圍是$[-\frac{9}{8}，\frac{9}{8}]$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．