Question

17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$•（n∈N^*）

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意解題步驟，特別是n=k+1時(shí)，運(yùn)用假設(shè)n=k的結(jié)論，結(jié)合放縮法，即可得證．

解答 證明：當(dāng)n=1時(shí)，左側(cè)=$\frac{1}{2}$，右側(cè)=2-$\frac{1+2}{2}$=$\frac{1}{2}$，顯然成立，
假設(shè)n=k時(shí)，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{k}{{2}^{k}}$=2-$\frac{k+2}{{2}^{k}}$（k∈N^*）
當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{k}{{2}^{k}}$+$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$=2-$\frac{k+2}{{2}^{k}}$+$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$=2-$\frac{2k+4-k-1}{{2}^{k+1}}$=2-$\frac{（k+1）+2}{{2}^{k+1}}$，
即有當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，
綜上可得，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．