Question

1．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=1，a₂=3，記A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…a_n+2，n∈N^*
（1）若對于任意的n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）依次成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，設(shè)b_n=$\frac{1}{A（n）}$，n∈N^*，求證：b₁+b₂+…+b_n＜2，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）由題意得B（n）-A（n）=C（n）-B（n），從而a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，則數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）證明：由A（n）=n²，知b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，將$\frac{1}{{n}^{2}}$放大為$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，然后相加即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由于對任意的n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）依次成等差數(shù)列，
則有B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，
又a₁=1，a₂=3，
所以a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，
則數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）證明：在（1）的條件下，
A（n）即為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，
所以A（n）=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
設(shè)b_n=$\frac{1}{A（n）}$，n∈N^*，則b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
所以b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-2）×（n-1）}$+$\frac{1}{（n-1）×n}$
=1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=2-$\frac{1}{n}$＜2，n∈N^*．

點評 本題是數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合的綜合題，主要考查放縮、裂項法，難度較大，考查了分析問題與解決問題的能力．