Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（1）求a₁及通項公式a_n；
（2）求證：$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由2a₁=（2-1）2²⁺¹+2=6，解得a₁=3，同時2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2-[（2n-3）2ⁿ+2]=（4n-2-2n+3）2ⁿ，即a_n=2n+1；
（2）${{a}_{n}}^{2}$=（2n+1）（2n+1）=4n²+4n+1＞4n²+4n，所以$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，從而$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{4}$．

解答 （1）解：根據(jù)題意，得2a₁=（2-1）2²⁺¹+2=6，解得a₁=3，
∵2a₁+2²a₂+…+2^n-1a_n-1=（2n-3）2ⁿ+2，
∴2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2-[（2n-3）2ⁿ+2]
=（2n-1）2ⁿ⁺¹-（2n-3）2ⁿ
=（4n-2-2n+3）2ⁿ，
即a_n=2n+1；
（2）證明：由（1）知${{a}_{n}}^{2}$=（2n+1）（2n+1），
又（2n+1）（2n+1）=4n²+4n+1＞4n²+4n，
所以$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
從而$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．