Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，sin（B+C）cosB-cos（B+C）sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求角C；
（2）求邊c及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式進行化簡即可求角C；
（2）利用三角形的面積公式以及余弦定理進行求解即可．

解答 解：（1）∵sin（B+C）cosB-cos（B+C）sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin（B+C-B）=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=10，
則c=$\sqrt{10}$；
∵ab=2，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查解三角形的應用，三角形面積公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，考查學生的運算能力比較基礎．