Question

5．已知坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=1+4sinφ}\end{array}\right.$φ為參數(shù)），直線l的極坐標方程為$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ=-5，θ∈[0，2π]．
（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；
（2）求曲線C截直線l所得的弦長．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosφ，sinφ，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系消去參數(shù)得到普通方程，將ρcosθ=x，ρsinθ=y代入直線l的極坐標方程得到直線l的普通方程．
（2）求出曲線C的半徑和弦心距，利用垂徑定理求出弦長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=1+4sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），∴cosφ=$\frac{x}{4}$，sinφ=$\frac{y-1}{4}$，
∴曲線C的普通方程為（$\frac{x}{4}$）²+（$\frac{y-1}{4}$）²=1，即x²+（y-1）²=16．
將ρcosθ=x，ρsinθ=y代入直線l的極坐標方程得$\sqrt{3}$x+y+5=0．
（2）曲線C是以（0，1）為圓心，以4為半徑的圓，點C到直線l的距離d=$\frac{6}{\sqrt{3+1}}$=3．
∴曲線C截直線l所得的弦長為2$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的互化，垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．