Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx）+a，g（x）=（a²-a+10）e^x（a∈R且a為常數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線過點（1，2），求實數(shù)M的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)φ（x）=$\frac{{b（1+{e^2}）g（x）}}{{（{a^2}-a+10）{e^2}x}}\;-\frac{1}{x}$+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式，解方程可得a的值；
（Ⅱ）φ（x）=0，化簡整理可得$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}=\;1-x-xlnx$，令h（x）=1-x-xlnx，再令$t（x）=\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}\;=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$，求出單調(diào)性，求得最值，即可判斷零點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx）+a的導數(shù)為
f'（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
又曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線過點（1，2），
得f'（0）=$\frac{f（0）-2}{0-1}$=2-（1+a）=2，
解得a=-1；
（Ⅱ）由$φ（x）=\;\frac{{b（1+{e^2}）g（x）}}{{（{a^2}-a+10）x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$（x＞0），
得$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{{x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$，
化為$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}=\;1-x-xlnx$，
令h（x）=1-x-xlnx，則h'（x）=-2-lnx，
由h'（x）=-2-lnx=0，得x=e^-2，
故h（x）在$（0，\frac{1}{e^2}）$上遞增，在$（\frac{1}{e^2}，+∞）$上遞減，
$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{e^2}）=1+\frac{1}{e^2}$．
再令$t（x）=\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}\;=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$，
因為b＞1，所以函數(shù)$t（x）=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$在（0，+∞）上遞增，$t（x）＞t（0）=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^0}=b（1+\frac{1}{e^2}）＞1+\frac{1}{e^2}$．
知t（x）＞h（x）_max，由此判斷函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上沒有零點，
故φ（x）零點個數(shù)為0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的零點的判斷，注意運用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性，求得最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．