Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5-3cos2θ}}$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)，C₁與x軸交于點(diǎn)P，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程兩式相加消去參數(shù)得出普通方程，對極坐標(biāo)方程兩邊平方，還有二倍角公式化簡得出普通方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線普通方程，利用參數(shù)得幾何意義得出．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴x+y=1，即曲線C₁的方程為x+y=1．
∵ρ=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5-3cos2θ}}$，∴ρ²=$\frac{8}{5-3（1-2si{n}^{2}θ）}$=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=4，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+4y²=4．即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+4y²=4得5t²-2$\sqrt{2}t$-6=0，
∴t₁t₂=-$\frac{6}{5}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．