Question

7．已知在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，圓A是以A為圓心，1為半徑的圓，圓B是以B為圓心的圓，設(shè)點(diǎn)P，Q分別為圓A，圓B上的動(dòng)點(diǎn)，且4$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BQ}$，則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，11]
• B． [1，13]
• C． [5-2$\sqrt{21}$，5+2$\sqrt{21}$]
• D． [7-2$\sqrt{21}$，7+2$\sqrt{21}$]

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ），根據(jù)4$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BQ}$求出Q坐標(biāo)，利用坐標(biāo)計(jì)算$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$得到關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：以A為原點(diǎn)AC，AB所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（0，3），C（$\sqrt{3}$，0）．設(shè)P（cosθ，sinθ），Q（x，y），
∵4$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BQ}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y-3=4sinθ}\end{array}\right.$，∴Q（4cosθ，4sinθ+3）．
∴$\overrightarrow{CP}$=（cos$θ-\sqrt{3}$，sinθ），$\overrightarrow{CQ}$=（4cosθ-$\sqrt{3}$，4sinθ+3）．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$=（cosθ$-\sqrt{3}$）（4cosθ-$\sqrt{3}$）+sinθ（4sinθ+3）
=7-5$\sqrt{3}$cosθ+3sinθ=7+2$\sqrt{21}$sin（θ-φ）．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的最小值為7-2$\sqrt{21}$，最大值為7+2$\sqrt{21}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)法是解決向量問(wèn)題的常用方法，屬于中檔題．