已知函數(shù)).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點?若存在,請指出有幾個零點;若不存在,請說明理由;

(3)若對任意恒成立,求a的取值范圍.

 

(1)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)當(dāng)時,函數(shù)有兩個不同的零點;當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點;當(dāng)時,函數(shù)沒有零點;(3)

a的取值范圍是

【解析】

試題分析:(1)首先求導(dǎo):,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定其單調(diào)性.時,函數(shù)單調(diào)遞增;時,函數(shù)單調(diào)減;(2)首先分離參數(shù).由,得.令),下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì),然后結(jié)合圖象便可得知的零點的個數(shù);(3)要使得對任意恒成立,只需的最小值大于零即可. 由,則.當(dāng)時,對,有,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,即恒成立.當(dāng)時,由(1),單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,若對任意恒成立,只需,顯然不可能直接解這個不等式,下面利用導(dǎo)數(shù)來研究,看在什么條件下這個不等式能成立.令),,即在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,故上恒成立,也就是說當(dāng)時,滿足的a不存在.所以a的取值范圍是

(1)由,則

,得;由,得

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. 4分

(2)函數(shù)的定義域為,由,得), 5分

),則

由于,,可知當(dāng),;當(dāng)時,,

故函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故. 6分

又由(1)知當(dāng)時,對,有,即, .7分

(隨著的增長,的增長速度越越快,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度,而的增長速度則會越越慢.則當(dāng)無限接近于0時,趨向于正無窮大.)

當(dāng)時,函數(shù)有兩個不同的零點;

當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點;

當(dāng)時,函數(shù)沒有零點. 9分

(3)由,則

①當(dāng)時,對,有,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,即恒成立. 10分

②當(dāng)時,由(1),單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

對任意恒成立,只需, 11分

),,

在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,故上恒成立, 13分

故當(dāng)時,滿足的a不存在.

綜上所述,a的取值范圍是. 14分

考點:1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用;2、函數(shù)的零點;3、導(dǎo)數(shù)與不等式.

 

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(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)6

 

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(A)16 (B)24 (C)30 (D)48

 

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如圖,已知A,B兩點分別在河的兩岸,某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C,測得m,,,則A、B兩點的距離為( )

(A)m (B)m (C)m (D)m

 

 

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設(shè)P是雙曲線上除頂點外的任意一點,、分別是雙曲線的左、右焦點,△的內(nèi)切圓與邊相切于點M,則( )

(A)5 (B)4 (C)2 (D)1

 

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