已知函數(shù)().
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點?若存在,請指出有幾個零點;若不存在,請說明理由;
(3)若對任意恒成立,求a的取值范圍.
(1)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)當(dāng)時,函數(shù)有兩個不同的零點;當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點;當(dāng)時,函數(shù)沒有零點;(3)
a的取值范圍是.
【解析】
試題分析:(1)首先求導(dǎo):,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定其單調(diào)性.時,函數(shù)單調(diào)遞增;時,函數(shù)單調(diào)減;(2)首先分離參數(shù).由,得.令(),下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì),然后結(jié)合圖象便可得知的零點的個數(shù);(3)要使得對任意恒成立,只需的最小值大于零即可. 由,則.當(dāng)時,對,有,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,即對恒成立.當(dāng)時,由(1),單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,若對任意恒成立,只需,顯然不可能直接解這個不等式,下面利用導(dǎo)數(shù)來研究,看在什么條件下這個不等式能成立.令(),,即在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,故在上恒成立,也就是說當(dāng)時,滿足的a不存在.所以a的取值范圍是.
(1)由,則.
由,得;由,得,
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. 4分
(2)函數(shù)的定義域為,由,得(), 5分
令(),則,
由于,,可知當(dāng),;當(dāng)時,,
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故. 6分
又由(1)知當(dāng)時,對,有,即, .7分
(隨著的增長,的增長速度越越快,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度,而的增長速度則會越越慢.則當(dāng)且無限接近于0時,趨向于正無窮大.)
當(dāng)時,函數(shù)有兩個不同的零點;
當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點;
當(dāng)時,函數(shù)沒有零點. 9分
(3)由,則.
①當(dāng)時,對,有,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,即對恒成立. 10分
②當(dāng)時,由(1),單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,
若對任意恒成立,只需, 11分
令(),,
即在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,故在上恒成立, 13分
故當(dāng)時,滿足的a不存在.
綜上所述,a的取值范圍是. 14分
考點:1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用;2、函數(shù)的零點;3、導(dǎo)數(shù)與不等式.
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設(shè)定義域為R的函數(shù)若關(guān)于x的方程有7個不同的實數(shù)解,則m=( ).
(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)6
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若變量滿足約束條件且的最大值為,最小值為,則的值是( )
(A)16 (B)24 (C)30 (D)48
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在Rt△ABC中,,,,則_____.
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如圖,已知A,B兩點分別在河的兩岸,某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C,測得m,,,則A、B兩點的距離為( )
(A)m (B)m (C)m (D)m
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設(shè)平面向量,,函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng),且時,求的值.
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設(shè)P是雙曲線上除頂點外的任意一點,、分別是雙曲線的左、右焦點,△的內(nèi)切圓與邊相切于點M,則( )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)1
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如圖,三棱錐中,,,分別為上的點,則周長最小值為 .
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過拋物線的焦點作直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,則等于 .
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