Question

4．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{2}$，且經(jīng)過點（0，1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；  
（2）過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M，試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件先求出橢圓C的半焦距，再把（0，1）代入橢圓方程，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，利用韋達(dá)定理，計算即可

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{2}$，且經(jīng)過點（0，1），
∴根據(jù)題意得：c=$\sqrt{2}$，即c²=a²-b²=2①，
把（0，1）代入橢圓方程得：b²=1，
把b²=1代入①得：a²=3，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）直線BM與直線DE平行．
證明如下：
∵AB過點D（1，0）且垂直于x軸，
∴可設(shè)A（1，y₁），B（1，-y₁），
∵E（2，1），∴直線AE的方程為：y-1=（1-y₁）（x-2），
令x=3，得M（3，2-y₁），
∴直線BM的斜率k_BM=$\frac{2-{y}_{1}+{y}_{1}}{3-1}$=1．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，k_BM=1．
又∵直線DE的斜率k_DE=$\frac{1-0}{2-1}$=1，∴BM∥DE；
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線AE的方程為y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
令x=3，則點M（3，$\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$），
∴直線BM的斜率k_BM=$\frac{\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∵k_BM-1=$\frac{k（{x}_{1}-1）+{x}_{1}-3-k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-2）-（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{（k-1）[-{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）-3]}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{（k-1）（\frac{-3{k}^{2}+3}{1+3{k}^{2}}+\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}-3）}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=0，
∴k_BM=1=k_DE，即BM∥DE；
綜上所述，直線BM與直線DE平行．

點評 本題是一道直線與橢圓的綜合題，涉及到韋達(dá)定理等知識，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．