Question

10．關于x的方程x²+x+p=0（p∈R）至少存在一個根x₀，若|x₀|=1，則p=-2或0或1．

Answer 1

分析 分x₀為實數和虛數兩種情況求解，當x₀為實數時，直接代入球p，當x₀為虛數時，由|x₀|=1，借助于1的立方虛根求得p值．

解答 解：當x₀∈R 時，
由|x₀|=1，得x₀=±1，
若x₀=1，則1+1+p=0，即p=-2，此時方程x²+x+p=0化為方程x²+x-2=0，有兩實數根；
若x₀=-1，則（-1）²-1+p=0，即p=0，此時方程x²+x+p=0化為方程x²+x=0，有兩實數根；
當x₀為虛數時，
若關于x的方程x²+x+p=0（p∈R）至少存在一個根x₀，且|x₀|=1，
則x₀為1的一個立方虛根，由此可知p=1．
故答案為：-2或0或1．

點評 本題考查實系數一元二次方程根的問題，考查了代入法，是基礎題．