Question

15．函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）\;（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-2cos2x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)圖象觀察可知A，函數(shù)的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得ω，由點（$\frac{π}{6}$，2）在函數(shù)圖象上，解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z結(jié)合范圍|φ|≤$\frac{π}{2}$，求得φ的值，從而可得函數(shù)解析式；
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）先求g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得所求值域．

解答 解：由函數(shù)圖象觀察可知：A=2…（1分），
函數(shù)的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{ω}$=2…（2分）
由點（$\frac{π}{6}$，2）在函數(shù)圖象上，可得：2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$…（4分）
∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．…（7分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）-2cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos2x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（9分）
∴當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴函數(shù)g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的值域為：[-1，2]．…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基本知識的考查．