Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點A關(guān)于原點O的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$，則橢圓離心率的范圍是$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}]$．

Answer 1

分析 設(shè)左焦點為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，由B和A關(guān)于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出$\frac{c}{a}$，即離心率e，再由α的范圍確定e的范圍．

解答 解：∵B和A關(guān)于原點對稱，∴B也在橢圓上，
設(shè)左焦點為F′，
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，
又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①
O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c，
又|AF|=2csinα，②
|BF|=2ccosα，③
把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$，即e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∵α∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e≤\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}]$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了定義在解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，訓練了三角函數(shù)最值的求法，是中檔題．