Question

12．P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一點，A、B分別是圓（x+3）²+y²=1和（x-3）²+y²=1上的點，則|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范圍是[8，12]．

Answer 1

分析 由題設(shè)知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦點分別是兩圓（x+3）²+y²=1和（x-3）²+y²=1的圓心，由此能求出|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最小值、最大值．

解答 解：依題意，橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點分別是
兩圓（x+3）²+y²=1和（x-3）²+y²=1的圓心，
所以（|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|）_max=2×5+2=12，
（|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|）_min=2×5-2=8，
則|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范圍是[8，12]．
故答案為：[8，12]．

點評 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用