Question

4．已知△ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：a$•\overrightarrow{PA}$+b$•\overrightarrow{PB}$+c$•\overrightarrow{PC}$=0，則P點為三角形（　�。�

• A． 外心
• B． 內(nèi)心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 在AB，AC上分別取單位向量$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AE}$，作$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$，則AF平分∠BAC，用$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$代入條件式，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AP}$，則可證明A，F(xiàn)，P三點共線，即AP平分∠BAC．

解答 解在AB，AC上分別取點D，E，使得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}$，則$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AE}|$=1．
以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，則四邊形ADFE是菱形，且$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}$．
∴AF為∠BAC的平分線．
∵a$•\overrightarrow{PA}$+b$•\overrightarrow{PB}$+c$•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$
∴a$•\overrightarrow{PA}$+b•（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$）+c•（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
即（a+b+c）$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$=$\frac{bc}{a+b+c}$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}$）=$\frac{bc}{a+b+c}$$\overrightarrow{AF}$．
∴A，P，F(xiàn)三點共線，即P在∠BAC的平分線上．
同理可得P在其他兩角的平分線上，
∴P是△ABC的內(nèi)心．
故選：B．

點評 本題考查了三角形內(nèi)心的向量表示，向量的線性運算，屬于中檔題．