Question

8． 設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），已知$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=3，且橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)M是橢圓C上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM分別與直線x=3相交于點(diǎn)D、E，求|DE|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=3，先求出C，進(jìn)而結(jié)合橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再求出a，b，可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），代入橢圓方程可得${k}_{AM}•{k}_{BM}=-\frac{1}{2}$，設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2）（k＞0），則直線BM的方程為：y=$-\frac{1}{2k}$（x-2），分別與x=3聯(lián)立可得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得答案．

解答 解：（I）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
兩焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)為（±c，0），c＞0，
則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2+c，1），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（2-c，1），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5-c²=3，
解得c=$\sqrt{2}$，
又由橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
（Ⅱ）由（I）知，左、右頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（±2，0），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），
則$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{2}=1$，即m²+2n²=4，即m²-4=-2n²，
即（m+2）（m-2）=-2n²，
即$\frac{（m+2）}{n}•\frac{（m-2）}{n}=-2$，即$\frac{n}{（m+2）}•\frac{n}{（m-2）}=-\frac{1}{2}$，
即${k}_{AM}•{k}_{BM}=-\frac{1}{2}$，
設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2）（k＞0），
則直線BM的方程為：y=$-\frac{1}{2k}$（x-2），
分別與x=3聯(lián)立可得：D（3，5k），E（3，$-\frac{1}{2k}$），
故|DE|=5k+$\frac{1}{2k}$≥$\sqrt{5k•\frac{1}{2k}}$=$\sqrt{10}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{10}}{10}$時(shí)取等號(hào)，
故|DE|的最小值為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，是直線，橢圓，基本不等式，向量的數(shù)量積的綜合應(yīng)用，屬于難題．