Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{6}$的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． [0，1）
• C． （-∞，0]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=x²-ax=x（x-a）；從而分類(lèi)討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題求解即可．

解答 解：∵f′（x）=x²-ax=x（x-a），
令f′（x）=0，
解得x=0，或x=a，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴f（x）存在唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上是增函數(shù)，在（a，0）上是減函數(shù)；
而且f（0）=$\frac{1}{6}$，f（x）存在唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函數(shù)，在（0，a）上是減函數(shù)；
而且f（0）=$\frac{1}{6}$，
故只需使f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$a•a²+$\frac{1}{6}$＞0，即a³＜1，
解得，0＜a＜1；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．