Question

“你低碳了嗎？”這是某市為倡導建設資源節(jié)約型社會而發(fā)布的公益廣告里的一句話．活動組織者為了解這則廣告的宣傳效果，隨機抽取了100名年齡段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民進行問卷調查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求隨機抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)；
（Ⅱ）從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取8人，求[50，60）年齡段抽取的人數(shù)；
（Ⅲ）從按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作為本次活動的獲獎者，記X為年齡在[50，60）年齡段的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖能求出隨機抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)．
（Ⅱ）由頻率公布直方圖知100×0.15=15，100×0.05=5，由此能求出抽取的8人中[50，60）年齡段抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）X的所有可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）1-10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，
即隨機抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)為35．…（4分）
（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，
所以5×

8

20

=2，
即抽取的8人中[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為2．  …（7分）
（Ⅲ）X的所有可能取值為0，1，2．
P(X=0)=

C 3 6

C 3 8

=

5

14

；
P(X=1)=

C 1 2 C 2 6

C 3 8

=

15

28

；
P(X=2)=

C 2 2 C 1 6

C 3 8

=

3

28

．
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	5 14	15 28	3 28

X的數(shù)學期望為EX=0×

5

14

+1×

15

28

+2×

3

28

=

3

4

．…（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．