Question

7．已知數(shù)列{a_n}中a₁，a₂的分別是直線2x+y-2=0的橫、縱截距，且$\frac{{{a_{n+1}}-{a_{n-1}}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=2（n≥2，n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（3n-4）（-1）ⁿ．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}中a₁，a₂的分別是直線2x+y-2=0的橫、縱截距，可得a₁=1，a₂=2.$\frac{{{a_{n+1}}-{a_{n-1}}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=2（n≥2，n∈N^*），化為：a_n+1+a_n=-（a_n+a_n-1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n+1+a_n=3×（-1）^n-1．變形為：$\frac{{a}_{n+1}}{（-1）^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}$=3，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}中a₁，a₂的分別是直線2x+y-2=0的橫、縱截距，∴a₁=1，a₂=2．
∵$\frac{{{a_{n+1}}-{a_{n-1}}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=2（n≥2，n∈N^*），化為：a_n+1+a_n=-（a_n+a_n-1），
∴數(shù)列{a_n+1+a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為-1．
∴a_n+1+a_n=3×（-1）^n-1．
變形為：$\frac{{a}_{n+1}}{（-1）^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}$=-1+3（n-1）=3n-4．
∴a_n=（3n-4）（-1）ⁿ．
故答案為：a_n=（3n-4）（-1）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．