Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C上是否存在關(guān)于直線l：x+y=$\frac{1}{5}$對稱的兩點(diǎn)A、B，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c=1，由離心率公式可得c，即可得到b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）假設(shè)橢圓C上存在關(guān)于直線l：x+y=$\frac{1}{5}$對稱的兩點(diǎn)A、B，可設(shè)AB的方程為y=x+t，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得AB的中點(diǎn)，代入已知直線方程，求得t，即可判斷存在．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
可得右焦點(diǎn)F（1，0），即c=1，
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）假設(shè)橢圓C上存在關(guān)于直線l：x+y=$\frac{1}{5}$對稱的兩點(diǎn)A、B，
可設(shè)AB的方程為y=x+t，
代入橢圓方程2x²+3y²-6=0，可得
5x²+6tx+3t²-6=0，
即有△＞0，即36t²-20（3t²-6）＞0，
解得-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6t}{5}$，
即有AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3t}{5}$，$\frac{2t}{5}$），
代入直線x+y=$\frac{1}{5}$，可得t=-1，
即有-1∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
則存在A，B，且AB的方程為y=x-1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題的解法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．