Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）為偶函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值，并指出當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)f（x）的值最��？并求出f（x）的最小值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a≠0），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）指出實(shí)數(shù)a不同取值時(shí)，（2）中函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是定義域R上的偶函數(shù)，得f（-x）=f（x），取特殊值x=1，求出k的值；
利用偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出x=0時(shí)f（x）的值最小，求出最小值f（0）；
（2）利用g（x）=f（x），討論方程的實(shí)數(shù)解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，求出兩函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍；
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x為定義域R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即log₄（4^-x+1）-（k-1）（-x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x，
令x=1，即log₄$\frac{5}{4}$+（k-1）=log₄5-（k-1），
∴2（k-1）=1，
解得k=$\frac{3}{2}$；
∴f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x，
根據(jù)函數(shù)f（x）是定義域上的偶函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)f（x）的值最小，最小值為f（0）=log₄2=$\frac{1}{2}$；
（2）∵g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a≠0），
f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（4^x+1）-log₄（2^x）=log₄$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$，
令f（x）=g（x），則
log₄$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
∴$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=a•2^x-$\frac{4}{3}$a，
不妨設(shè)t=2^x，t＞0；
∴$\frac{{t}^{2}+1}{t}$=at-$\frac{4}{3}$a，
即t²+1=at²-$\frac{4}{3}$at，
整理，得（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0，
設(shè)u（t）=（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1，t＞0；
兩函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)u（t）有正實(shí)數(shù)根，
①當(dāng)a=1時(shí) t=-$\frac{3}{4}$不滿足題意，舍去；
②當(dāng)△=0時(shí) a=$\frac{3}{4}$ 或a=-3，
若a=$\frac{3}{4}$，則t=-$\frac{1}{2}$＜0不滿足題意，舍去；
若a=-3，則t=$\frac{1}{2}$滿足題意，
③當(dāng)一正根一負(fù)根時(shí)，有根的分布情況得（a-1）•u（0）＜0，
∴a＞1，
綜上，a=-3或a＞1時(shí)，兩函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
④當(dāng)有兩個(gè)正根時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{16}{9}a}^{2}+4（a-1）＞0}\\{\frac{4a}{3（a-1）}＞0}\\{\frac{-1}{a-1}＞0}\end{array}\right.$，
解得a＜-3，此時(shí)兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)；
∴當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是{a|a≤-3或a＞1}；
（3）由（2）知，a=-3或a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，
a＜-3時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．