Question

1．如圖，四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，SA=AB=BC=4，AD=2，M為SB的中點．
（1）求證：AM∥平面SDC；
（2）求三棱錐S-CDM的體積V_S-CDM．

Answer 1

分析 （1）取SC中點N，連DN，MN，證明AM∥DN，然后利用直線與平面平行的判定定理證明AM∥平面SDC．
（2）解法（一）通過V_S-CDM=V_M-SCD=$\frac{1}{2}$V_B-SCD=$\frac{1}{2}$V_S-CDB求解即可．
解法（二）：利用B到面CDM的距離是S到面CDM的距離相等，直接求解棱錐的體積即可．

解答 （1）證明：取SC中點N，連DN，MN可得，MN∥BC 且MN=$\frac{1}{2}$BC，
又AD∥BC 且AD=$\frac{1}{2}$BC，
所以，MN∥AD且MN=AD，
所以四邊形AMND為平行四邊形．…（3分）
那么，AM∥DN，
DN?平面ADC，
AM?平面ADC，…（5分）
所以，AM∥平面SDC．…（6分）
（2）解法（一）：V_S-CDM=V_M-SCD=$\frac{1}{2}$V_B-SCD=$\frac{1}{2}$V_S-CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{16}{3}$…（12分）
解法（二）：
因為B到面CDM的距離是S到面CDM的距離相等，
所以V_S-CDM=V_B-CDM=V_M-CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{16}{3}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．