Question

18．已知sinα和cosα是方程4x²+2$\sqrt{6}$x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的值；
（2）求sin³α-cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用韋達(dá)定理求出sinα+cosα和sinαcosα，再利用（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα能求出m．
（2）由sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，sinαcosα=$\frac{1}{4}$，（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα，求出sinα-cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由立方差公式能求出sin³α-cos³α．

解答 解：（1）∵sinα和cosα是方程4x²+2$\sqrt{6}$x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{sinα•cosα=\frac{m}{4}}\end{array}\right.$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{m}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得m=1．
（2）由（1）得sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，sinαcosα=$\frac{1}{4}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinα-cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²α+cos²α+sinαcosα）
=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+$\frac{1}{4}$）
=±$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，要求熟練記憶和應(yīng)用相關(guān)公式，屬于基本知識(shí)的考查．