Question

18．設(shè)A（x₀，y₀）（x₀，y₀≠0）是橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+y²=1（m＞0）上一點(diǎn)，它關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)依次為B，C，D．E是橢圓T上不同于A的另外一點(diǎn)，且AE⊥AC，如圖所示．
（Ⅰ） 若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且BD∥AE，求m的值；
（Ⅱ）求證：直線BD與CE的交點(diǎn)Q總在橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+y²=（$\frac{m}{m+2}$）²上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對(duì)稱性結(jié)合A的橫坐標(biāo)可得A的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程可求m的值；
（Ⅱ）設(shè)E（x₁，y₁），由于A，E均在橢圓T上，則$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+（m+1）{{y}_{0}}^{2}=m+1①}\\{{{x}_{1}}^{2}+（m+1）{{y}_{1}}^{2}=m+1②}\end{array}\right.$，聯(lián)立可得BD所在直線方程，再由k_AE•k_AC=-1求出CE所在直線方程，聯(lián)立兩直線方程把Q的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示，代入橢圓方程證得答案．

解答 （Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故$\frac{3}{m+1}=1$，m=2；
（Ⅱ）證明：由對(duì)稱性可知B（-x₀，y₀），C（-x₀，-y₀），D（x₀，-y₀），四邊形ABCD為矩形，
設(shè)E（x₁，y₁），由于A，E均在橢圓T上，則
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+（m+1）{{y}_{0}}^{2}=m+1①}\\{{{x}_{1}}^{2}+（m+1）{{y}_{1}}^{2}=m+1②}\end{array}\right.$，
由②-①得：（x₁+x₀）（x₁-x₀）+（m+1）（y₁+y₀）（y₁-y₀）=0，
顯然x₁≠x₀，從而$\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}=-\frac{1}{m+1}•\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{{y}_{1}-{y}_{0}}=-\frac{1}{m+1}$$•\frac{1}{{k}_{AE}}$=$\frac{1}{m+1}•{k}_{AC}=\frac{1}{m+1}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵AE⊥AC，∴k_AE•k_AC=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x}\\{y+{y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}（x+{x}_{0}）=\frac{1}{m+1}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}（x+{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{m+2}{m}x}\\{{y}_{0}=-\frac{m+2}{m}y}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程，知$\frac{{x}^{2}}{m+1}+{y}^{2}=（\frac{m}{m+2}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性尋求點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．