Question

8．已知f（x）為二次函數(shù)，f（x-2）=f（-x-2），且f（0）=1，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由條件便知，二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=-2，而由f（0）=1便可設(shè)f（x）=ax²+bx+1，根據(jù)對(duì)稱軸便有，$-\frac{2a}=-2$，從而得到b=4a，根據(jù)題意知f（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可求出這兩個(gè)根，根據(jù)f（x）在x軸上截得的線段長(zhǎng)便可求出b，a，這樣便可得出f（x）的解析式．

解答 解：根據(jù)f（x-2）=f（-x-2）知，f（x）的對(duì)稱軸為x=-2，又f（0）=1；
∴設(shè)f（x）=ax²+bx+1；
∴$-\frac{2a}=-2$；
∴b=4a，則令f（x）=0得：x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-b}}{\frac{2}}$
∵f（x）圖象在x軸截得的線段長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$；
∴$|\frac{-b+\sqrt{^{2}-b}}{\frac{2}}-\frac{-b-\sqrt{^{2}-b}}{\frac{2}}|=2\sqrt{2}$；
∴$\frac{2\sqrt{^{2}-b}}{|b|}=\sqrt{2}$；
∴$\frac{4（^{2}-b）}{^{2}}=2$；
解得b=2，或b=0（舍去）；
∴$a=\frac{1}{2}$；
∴f（x）的解析式為：$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+1$．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的一般形式，根據(jù)f（x+a）=f（-x+a）便知f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱，以及一元二次方程的求根公式，會(huì)求二次函數(shù)圖象在x軸截得的線段長(zhǎng)．