Question

15．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，P為BC中點(diǎn)，Q為線段CC₁上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得截面記為S．當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，S的面積為$\frac{9}{8}$；若S為五邊形，則此時(shí)CQ取值范圍（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面即可求出答案．

解答 解：如圖：

當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，即Q為CC₁中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9}{8}$； 
當(dāng)CQ=$\frac{3}{4}$時(shí)，如下圖，
，
延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連結(jié)AN交A₁D₁于S，
連結(jié)QN交C₁D₁于R，連結(jié)SR，則AN∥PQ，
由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2．
∴C₁R=$\frac{1}{3}$，RD₁=$\frac{2}{3}$，

∴當(dāng)$\frac{1}{2}$＜CQ＜1時(shí)，此時(shí)的截面形狀是上圖所示的APQRS，為五邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，借助于特殊點(diǎn)分析問題是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．