Question

17．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比即可，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
∴a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂a₃=8．
解得a₁=1，a₄=8或a₁=8，a₄=1（舍），
解得q=2，即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
（2）S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2ⁿ-1，
∴b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$$-\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{2}}-\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．