17．已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出首項和公比即可，求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求出bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，利用裂項法即可求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

解答 解：（1）∵數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8．
∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．
解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），
解得q=2，即數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1；
（2）Sn=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2n-1，
∴bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$，
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$\frac{1}{{S}_{1}}$$-\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{2}}-\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵．

練習冊系列答案
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參加書法社團未參加書法社團
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未參加演講社團230
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A．3B．4C．5D．6

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A．5B．4C．3D．2

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