Question

11．函數(shù)f（x）=lnx-（k+1）x（k≥-1）．
（1）若f（x）無零點(diǎn)，求k的取整數(shù)時(shí)的最小值；
（2）若存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出k的只需整數(shù)值；
（2）通過討論k的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定k的具體范圍即可．

解答 解：（1）k=-1時(shí)，f（x）=lnx有1個(gè)零點(diǎn)，
k＞-1時(shí)，f′（x）=$\frac{1-（k+1）x}{x}$，
故x∈（0，$\frac{1}{k+1}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（$\frac{1}{k+1}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
∵f（x）無零點(diǎn)，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{k+1}$）=ln$\frac{1}{k+1}$-1＜0，解得：k＞$\frac{1}{e}$-1，
故k取整數(shù)時(shí)的最小值是0；
（2）k=-1時(shí)，f（x）=lnx，x∈[2e，3e]使得f（x）＞0恒成立，符合題意，
k＞-1時(shí)，由（1）得k≥$\frac{1}{e}$-1時(shí)，f（x）≤0，
只需討論-1＜k＜$\frac{1}{e}$-1時(shí)是否存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
此時(shí)x=$\frac{1}{k+1}$∈（e，+∞），
由（1）得：e＜$\frac{1}{k+1}$＜2e即$\frac{1}{2e}$-1＜k＜$\frac{1}{e}$-1時(shí)，
只需f（2e）=ln2e-（k+1）2e＞0，
即k＜$\frac{ln（2e）}{2e}$-1＜$\frac{1}{e}$-1，
∴$\frac{1}{2e}$-1＜k＜$\frac{ln（2e）}{2e}$-1時(shí)存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
當(dāng)2e≤$\frac{1}{k+1}$≤3e即$\frac{1}{3e}$-1≤k≤$\frac{1}{2e}$-1時(shí)，
由（1）得：f（x）_max=f（$\frac{1}{k+1}$）=ln$\frac{1}{k+1}$-1＞0，
∴$\frac{1}{3e}$-1≤k≤$\frac{1}{2e}$-1時(shí)，存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
當(dāng)$\frac{1}{k+1}$＞3e即-1＜k＜$\frac{1}{3e}$-1時(shí)，只需f（3e）=ln3e-（k+1）3e＞0，
即k＜$\frac{ln（3e）}{3e}$-1，
∴-1＜k＜$\frac{1}{3e}$-1時(shí)存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
綜上，k∈[-1，$\frac{ln（2e）}{2e}$-1）時(shí)，存在x∈[2e，3e]，使得f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想以及學(xué)生的解題能力，是一道綜合題．