Question

9．有下列命題
（1）函數(shù)f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）的表達(dá)式可改寫(xiě)為y=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）函數(shù)y=cos（sinx）（x∈R）為偶函數(shù)；
（3）函數(shù)y=sin|x|是周期函數(shù)，且周期為2π；
（4）若cosα=cosβ，則α-β=2kπ，k∈Z；
（5）設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$的最大值為M，最小值為m，則M+m=4，其中正確的命題序號(hào)是（1）（2）．

Answer 1

分析 根據(jù)誘導(dǎo)公式，可判斷（1）；根據(jù)偶函數(shù)的定義，可判斷（2）；根據(jù)周期函數(shù)的定義，可判斷（3）；根據(jù)誘導(dǎo)公式，及余弦的定義，可判斷（4）；根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可判斷（5）；

解答 解：f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（-2x+$\frac{π}{6}$）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），故（1）正確；
令f（x）=y=cos（sinx），則f（x）=cos[sin（-x）]=cos（-sinx）=cos（sinx），故函數(shù)為偶函數(shù)，故（2）正確，
函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；
若cosα=cosβ，則α-β=2kπ，k∈Z，或α+β=2kπ，k∈Z，故（4）錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+1}$，其中y=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+1}$為奇函數(shù)，
設(shè)y=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+1}$的最大值為N，最小值為n，則N+n=0，M=N+1，m=n+1，
∴M+m=2，故（5）錯(cuò)誤．
故答案為：（1）（2）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．