Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以M（-a，b），N（a，b），F(xiàn)₂、F₁為頂點(diǎn)的等腰梯形的高為1，面積為2+$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=k（x-1）（k≠0）與x軸相交于點(diǎn)P，與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q，求$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，再由等腰梯形的面積公式可得$\frac{1}{2}$（2c+2a）b=2+$\sqrt{3}$，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B橫縱坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步求得AB的垂直平分線方程，求得Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求得|PQ|，由弦長(zhǎng)公式求得|AB|，作比后求得$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得b=1，
等腰梯形的面積為$\frac{1}{2}$（2c+2a）b=2+$\sqrt{3}$，
即為a+c=2+$\sqrt{3}$，
又a²-c²=1，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）直線y=k（x-1）（k≠0），
代入橢圓方程，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{-2k}{1+4{k}^{2}}$．
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$），
∴線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）．
取y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
于是，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)Q（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0），
又點(diǎn)P（1，0），
∴|PQ|=|1-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
于是，$\frac{|AB|}{|PQ|}$=4$\sqrt{3-\frac{2}{1+{k}^{2}}}$．
∵k≠0，
∴1＜3-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$＜3．
∴$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范圍為（4，4$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，是處理這類問題的最為常用的方法．