Question

3．已知∠A+∠B=120°．
（1）將函數(shù)y=sin²A+sin²B化為y=Asin（wx+φ）的形式；
（2）求函數(shù)y的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)y的解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)y的解析式，求得y的值域．

解答 解：（1）∵∠A+∠B=120°，
∴函數(shù)y=sin²A+sin²B=sin²A+sin²（120°-A）=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos（240°-2A）}{2}$
=1-$\frac{cos2A}{2}$-$\frac{cos（-120°-2A）}{2}$=1-$\frac{cos2A}{2}$-$\frac{cos（120°+2A）}{2}$
=1-$\frac{cos2A}{2}$-$\frac{-\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A}{2}$=1-$\frac{cos2A}{2}$+$\frac{1}{4}cos2A$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A
=1-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）．
（2）根據(jù)sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，y=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），
可得y的值域為[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．