Question

20．已知{a_n}為等差數(shù)列，若$\frac{{a}_{13}}{{a}_{12}}$＜-1，且它的前n項(xiàng)和S_n有最大值，那么當(dāng)S_n取得最小正值時(shí)，n的值為（　�。�

• A． 24
• B． 23
• C． 22
• D． 11

Answer 1

分析 由{a_n}為等差數(shù)列，且它的前n項(xiàng)和S_n有最大值，得數(shù)列的公差d小于0，再由$\frac{{a}_{13}}{{a}_{12}}$＜-1，得到a₁₃＜0＜a₁₂，由此求得S_n取得最小正值時(shí)的n的值．

解答 解：∵S_n有最大值，
∴d＜0
則a₁₂＞a₁₃，
又$\frac{{a}_{13}}{{a}_{12}}$＜-1，
∴a₁₃＜0＜a₁₂，
∴a₁₂+a₁₃＜0，
S₂₄=12（a₁+a₂₄）=12（a₁₂+a₁₃）＜0，
S₂₃=23a₁₂＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₂＞0＞a₁₃＞a₁₄，
S₁₂＞S₁₁＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₂＞S₁₃＞…＞S₂₃＞0＞S₂₄＞S₂₅，
又∵S₂₃-S₁=a₂+a₃+…+a₂₃=11（a₁₂+a₁₃）＜0，
∴S₂₃為最小正值．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，要求S_n取得最小正值時(shí)n的值，關(guān)鍵是要找出什么時(shí)候a_n大于0，而a_n+1小于0，是中檔題．