Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-4，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=1，其n項(xiàng)和為T_n，且T₂+T₆=32．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若不等式nlog₂（S_n+4）≥λb_n+3n-7對任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）S_n=2×4ⁿ-4．不等式nlog₂（S_n+4）≥λb_n+3n-7，化為：λ≤$\frac{2{n}^{2}-2n+7}{n+1}$，利用單調(diào)性求出$\frac{2{n}^{2}-2n+7}{n+1}$的最小值即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-4，
∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-4，解得a₁=4；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為1．
∵T₂+T₆=32，∴2b₁+1+6b₁+$\frac{6×5}{2}$×1=32，解得b₁=2．
∴b_n=2+（n-1）=n+1．
（Ⅱ）S_n=2×2ⁿ⁺¹-4．
∴不等式nlog₂（S_n+4）≥λb_n+3n-7，化為：λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$，
∵$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-3≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-3=3，
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{2{n}^{2}-2n+7}{n+1}$取得最小值3，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤3．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．