Question

16．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上任意兩點P，Q，若OP⊥OQ，則乘積|OP|•|OQ|的最小值為$\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 題意可設(shè)點P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（$θ±\frac{π}{2}$，|OQ|sin（$θ±\frac{π}{2}$），由P、Q在橢圓上，即可得出結(jié)論．

解答 解：題意可設(shè)點P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（$θ±\frac{π}{2}$，|OQ|sin（$θ±\frac{π}{2}$），
由P、Q在橢圓上，得：
$\frac{1}{|OP{|}^{2}}=\frac{co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}θ}{^{2}}$，①
$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{si{n}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{co{s}^{2}θ}{^{2}}$，②
①+②，得$\frac{1}{|OP{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$，
∴當(dāng)|OP|=|OQ|=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$時，乘積|OP|•|OQ|最小值為$\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
故答案為：$\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．

點評 本題考查橢圓中兩線段乘積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．