Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l₁，l₂是橢圓的任意兩條切線，且l₁∥l₂，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)B到l₁，l₂的距離之積恒為1？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出$a=\sqrt{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n（m≠n），兩直線分別與橢圓聯(lián)立，得到m²=1+2k²，m=-n，由此利用點(diǎn)B到l₁，l₂的距離之積恒為1，能求出點(diǎn)B坐標(biāo)，當(dāng)l₁，l₂的斜率不存在時，點(diǎn)B（±1，0）到l₁，l₂的距離之積為1．由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}-1}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$a=\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）①當(dāng)l₁，l₂的斜率存在時，設(shè)l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n（m≠n）
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{1+2{k^2}}）{x^2}+4mkx+2{m^2}-2=0$，
△=0，m²=1+2k²，同理n²=1+2k²m²=n²，m=-n，
設(shè)存在$B（{t，0}），\frac{{|{kt+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}•\frac{{|{kt-m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1⇒|{{k^2}{t^2}-{m^2}}|=1+{k^2}$，
又m²=1+2k²，則|k²（2-t²）+1|=1+k²，k²（1-t²）=0或k²（t²-3）=2（不恒成立，舍去）
∴t²-1=0，t=±1，點(diǎn)B（±1，0），
②當(dāng)l₁，l₂的斜率不存在時，${l_1}：x=-\sqrt{2}，{l_2}：x=\sqrt{2}$
點(diǎn)B（±1，0）到l₁，l₂的距離之積為1．
綜上，存在B（1，0）或（-1，0）．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．