Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（cos（x+$\frac{π}{8}$），sin²（x+$\frac{π}{8}$）），$\overrightarrow b$=（sin（x+$\frac{π}{8}$），1），函數(shù)f（x）=1-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的解析式和最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若方程f（x）+2m=0在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有兩個(gè)實(shí)根，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算、二倍角公式和兩角和與差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)的周期；
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，解不等式確定函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）由題意可得cos2x=-$\sqrt{2}$m在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有兩個(gè)實(shí)根，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得-1＜-$\sqrt{2}$m≤0，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=1-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
=1-2[cos（x+$\frac{π}{8}$）sin（x+$\frac{π}{8}$）+sin²（x+$\frac{π}{8}$）]
=1-2cos（x+$\frac{π}{8}$）sin（x+$\frac{π}{8}$）-2sin²（x+$\frac{π}{8}$）
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+cos（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x，
最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ≤2x≤2kπ+π，解得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z；
（3）方程f（x）+2m=0在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有兩個(gè)實(shí)根，
即為cos2x=-$\sqrt{2}$m在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$]有兩個(gè)實(shí)根，
由t=2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{4}$]，y=cost在[$\frac{π}{2}$，π]遞減，在[π，$\frac{7π}{4}$]遞增，
即有y=cos2t的最小值為-1，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有-1＜-$\sqrt{2}$m≤0，解得0≤m＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題過(guò)程中注意運(yùn)用整體的思想來(lái)解決三角函數(shù)問(wèn)題．