Question

11．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$，cos²$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow$=（cosφ，sinφ），函數(shù)f（x）=2A（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）-Asinφ+k（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）；
（2）如何由函數(shù)y=-sinx的圖象得到函數(shù)y=f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡f（x）的解析式，由最大值和最小值求得k和A的值，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，即可確定f（x）的解析式．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2A（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）-Asinφ+k=2A•[sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$cosφ+cos²$\frac{ωx}{2}$sinφ]-Asinφ+k
=A•[sinωxcosφ+sinφ+sinφcosωx]-Asinφ+k=A[sin（ωx+φ）+sinφ]-Asinφ+k=Asin（ωx+φ）+k，
結合f（x）的圖象可得k=$\frac{3-1}{2}$=1，故f（x）=Asin（ωx+φ）+1．
由$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{3}$-$\frac{π}{3}$=2π，求得ω=$\frac{1}{2}$；再根據(jù)五點法作圖可得$\frac{1}{2}$•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，
求得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）+1．
（2）把函數(shù)y=-sinx=sin（x+π）的圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=sin（$\frac{1}{2}$x+π）的圖象；
再把所得圖象向右平移$\frac{4π}{3}$個單位，可得y=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{4π}{3}$）+π]=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象向上平移1個單位，可得f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．