Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

2

x

+ax-3（其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對?x∈[1，3]，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

2

x

+x-3，定義域為（0，+∞）．f′(x)=

1

x

-

1

x2

+1．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的最小值．
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立；當(dāng)a≥1且x∈[1，3]時，f（x）=lnx+

2

x

+ax-3+（a-1）x≥lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立；當(dāng)0＜a＜1時，f′(x)=

1

x

-

2

x2

+a=

ax2+x-2

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

2

x

+x-3，定義域為（0，+∞）．
f′(x)=

1

x

-

1

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

．
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）0．
所以，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，f（x）_min=f（1）=0．…（6分）
（2）①由（1）知，當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立，
所以，當(dāng)a≥1且x∈[1，3]時，
f（x）=lnx+

2

x

+ax-3+（a-1）x≥lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立，符合題意．
②當(dāng)0＜a＜1時，f′(x)=

1

x

-

2

x2

+a=

ax2+x-2

x2

．
方程ax²+x-2=0的判別式△=1+8a＞0．
所以方程ax²+x-2=0有兩根，設(shè)為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
由x1•x2=-

2

a

＜0，知x₁＜0＜x₂．
所以，0＜x＜x₂時，f′（x）＜0，f（x）在（0，x₂]上為減函數(shù)．
由a•1²+1-21．
若1＜x₂＜3，則f（x₂）＜f（1）=a-1＜0，與x∈[1，3]時，f（x）≥0恒成立矛盾．
若x₂≥3，則f（3）＜f（1）=a-1＜0，與x∈[1，3]時，f（x）≥0恒成立矛盾．
所以，0＜a＜1不符合要求．
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．…（14分）

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．