Question

3．已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點（如圖）．
（Ⅰ）過M點的直線l₁交圓于P、Q兩點，且圓弧PQ恰為圓周的$\frac{1}{4}$，求直線l₁的方程；
（Ⅱ）求中心在原點，焦點在x軸，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（Ⅲ）過M點的圓的切線l₂交（Ⅱ）中的一個橢圓于C、D兩點，其中C、D兩點在x軸上方，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可設直線l₁的方程為y=k（x+2），由點到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得；
（Ⅱ）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），易得a=1或b=1，分別可得b和a值，可得方程；
（Ⅲ）可設直線l₂的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）和橢圓聯(lián)立可得5x²+8x+2=0，由弦長公式可得．

解答 解：（Ⅰ）∵圓孤PQ恰為圓周的$\frac{1}{4}$，∴∠POQ=$\frac{π}{2}$，
∴點O到直線l₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設直線l₁的方程為y=k（x+2），
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直線l₁的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+2）；
（Ⅱ）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓與圓O恰有兩個公共點，∴a=1或b=1，
當a=1時，c=$\frac{1}{2}$，b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$，所求橢圓方程為x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
同理當b=1時，可得a²=2，所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅲ）設切點為N，由題意可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
在RT△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
∴直線l₂的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1整理可得5x²+8x+2=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由韋達定理可得x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=$\frac{2}{5}$，
由弦長公式可得線段CD的長|CD|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，涉及弦長公式和距離公式，屬中檔題．