Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數(shù)y=f（x）的圖象總在直線y=-

1

2

的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．若a=1，試問：在區(qū)間[1，10]上是否存在k（k＜100）個(gè)正數(shù)x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≥2013成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,存在型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求出函數(shù)式及導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），求得單調(diào)區(qū)間，得到極大值，也為最大值，由題意令它小于-

1

2

，解出不等式即可；
（Ⅲ）求出當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=2x+

1

x

，記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明y=f′（x）在[1，10]上遞增，又f′（10）=

201

10

．從而得到f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≤k•f′（10）=

201k

10

＜2010．
故不存在k（k＜100）個(gè)正數(shù)x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≥2013成立．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x²+lnx，f′（x）=-2x+

1

x

，f′（1）=-1，
所以切線的斜率為-1．又f（1）=-1，所以切點(diǎn)為（1，-1）．
故所求的切線方程為：y+1=-（x-1）即x+y=0．
（Ⅱ）f′（x）=2ax+

1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

（x＞0，a＜0）．
令f′（x）=0，則x=

- 1 2a

．
當(dāng)x∈（0，

- 1 2a

]時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（

- 1 2a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
故x=

- 1 2a

為函數(shù)f（x）的唯一極大值點(diǎn)，
所以f（x）的最大值為f（

- 1 2a

）=-

1

2

+

1

2

ln（-

1

2a

）．
由題意有-

1

2

+

1

2

ln（-

1

2a

）＜-

1

2

，解得a＜-

1

2

，
所以a的取值范圍為（-∞，-

1

2

）．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=2x+

1

x

，記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]，
當(dāng)x∈[1，10]，g′（x）=2-

1

x2

＞0，則y=g（x）在[1，10]上遞增，
即y=f′（x）在[1，10]上遞增，又f′（10）=2×10+

1

10

=

201

10

．
所以對(duì)任意的x∈[1，10]，都有f′（x）≤

201

10

，
所以f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≤k•f′（10）=

201k

10

，
由于k＜100，所以

201k

10

＜2010．
所以在區(qū)間[1，10]上不存在k（k＜100）個(gè)正數(shù)x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…f′（x_k）≥2013成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，和極值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．