Question

5．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左頂點(diǎn)為A（-3，0），圓心在原點(diǎn)的圓O與橢圓的內(nèi)接三角形△AEF的三條邊都相切．
（1）求橢圓方程；
（2）求圓O方程；
（3）B為橢圓的上頂點(diǎn)，過B作圓O的兩條切線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，試判斷并證明直線MN與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)圓O的方程為x²+y²=r²，由圓O與橢圓的內(nèi)接三角形△AEF的三條邊都相切，可設(shè)直線EF：x=r，代入橢圓方程，求得E的坐標(biāo)，再由直線AE和圓相切的條件：d=r，解方程即可得到圓O的方程；
（3）設(shè)切線的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$，由直線和圓相切的條件：d=r，求得k，代入橢圓方程，解方程可得M的坐標(biāo)，N的坐標(biāo)，求得直線MN的方程，求得O到直線MN的距離，即可判斷MN和圓O的為位置關(guān)系．

解答 解：（1）由題意可得a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
可得b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1；
（2）設(shè)圓O的方程為x²+y²=r²，
由圓O與橢圓的內(nèi)接三角形△AEF的三條邊都相切，
可設(shè)直線EF：x=r，代入橢圓方程，解得E（r，$\frac{\sqrt{9-{r}^{2}}}{2}$），
可得直線AE：y=$\frac{\sqrt{9-{r}^{2}}}{2（r+3）}$（x+3），
由相切的條件，可得d=$\frac{3\sqrt{9-{r}^{2}}}{\sqrt{9-{r}^{2}+4（r+3）^{2}}}$=r，
化為（r-1）（r+3）²=0，解得r=1，
即有圓O：x²+y²=1；
（3）B（0，$\frac{3}{2}$），設(shè)切線的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$，
由直線和圓相切的條件可得$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+$\frac{3}{2}$，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1，
解得x=-$\sqrt{5}$，y=-1．
可設(shè)M（-$\sqrt{5}$，-1）；
同理可得N（（$\sqrt{5}$，-1），
即有直線MN：y=-1．
顯然圓心O到直線MN的距離為1，
則直線MN和圓O相切．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線和圓相切的條件：d=r，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．