Question

20．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），AB為過(guò)橢圓E中心的弦，則△AFB的面積最大值是bc；若點(diǎn)F關(guān)于直y=$\frac{c}$x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 △ABF面積等于△AOF和△BOF的面積之和，△AOF和△BOF的面積相等，A到x軸的距離h應(yīng)最大，又h的最大值為b，從而得到△ABF面積的最大值；設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可．

解答 解：△ABF面積等于△AOF和△BOF的面積之和，
設(shè)A到x軸的距離為h，由AB為過(guò)橢圓中心的弦，
則B到x軸的距離也為h，
可得△AOF和△BOF的面積相等，
故△ABF面積等于$\frac{1}{2}$c•2h=ch，又h的最大值為b，
則有△ABF面積的最大值是bc；
設(shè)Q（m，n），由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}=-\frac{c}}\\{\frac{1}{2}n=\frac{c}•\frac{m+c}{2}}\end{array}\right.$，
可得：m=$\frac{{c}^{3}-c^{2}}{{a}^{2}}$，n=$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
代入橢圓方程可得：$\frac{（\frac{{c}^{3}-c^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{^{2}}$=1，
解得e²（4e⁴-4e²+1）+4e²=1，
可得4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：bc，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，用分割法求△ABF的面積，利用△AOF和△BOF是同底等高的兩個(gè)三角形和運(yùn)用對(duì)稱知識(shí)是解題的關(guān)鍵．