Question

1．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則當(dāng)$\frac{1}{{{e_1}{e_2}}}$取最大值時(shí)，e₁，e₂的值分別是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\sqrt{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\sqrt{3}$

Answer 1

分析 不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，c=$\sqrt{{a}_{1}^{2}+_{1}^{2}}$．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．m＞n．利用定義可得：m+n=2a，m-n=2a₁，解得m，n．利用余弦定理可得：$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，化簡(jiǎn)整理可得：$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}+\frac{3}{{e}_{2}^{2}}$=4，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，c=$\sqrt{{a}_{1}^{2}+_{1}^{2}}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．m＞n．
則m+n=2a，m-n=2a₁，
∴m=a+a₁，n=a-a₁．
$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，
化為：$（a+{a}_{1}）^{2}$+$（a-{a}_{1}）^{2}$-4c²=（a+a₁）（a-a₁）．
∴${a}^{2}+3{a}_{1}^{2}$-4c²=0，
∴$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}+\frac{3}{{e}_{2}^{2}}$=4，
∴4≥$2\sqrt{\frac{1}{{e}_{1}^{2}}×\frac{3}{{e}_{2}^{2}}}$，化為：$\frac{1}{{{e_1}{e_2}}}$≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$，當(dāng)且僅當(dāng)e₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，e₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．